11-sinf Matematika olimpiada №4

1. Agar va bo‘lsa,  ni toping.

2. ABCD  tetraedrning  D  uchidagi  barcha  yassi  burchaklari  to`g`ri. Shu  tetraedrda  kub  shunday  ichki  chizilganki,  kubning  bitta  uchi  D  nuqtada, unga  qarama−qarshi  uchi  esa ABC  yoqda  yotibdi. Agar  DA=5,  DB=6  va  DC=10  bo`lsa, kub  qirrasining  uzunligini  toping.

3. Agar 2^a =27,   3^c=16      bo’lsa  a ∙ ? ning qiymatini toping.

4. Agar ? + 4/√?= 17 bo‘lsa, ? + 4√? ni toping.

5. Aylananing ОА, ОВ, ОС radiuslari o‘tkazilgan. Agar bo‘lsa, АОВ burchakni toping.

6. Soatning minut mili 144° ga burilganda, soatning soat mili qanday burchakka burilada?

7. BC = BE = CD ,∠DAE = 20°, ∠BCD = 60° ,∠ADE = ? (chizmaga qarang)

8. ? soniga teskari bo‘lgan son ? ning 9% ini tashkil qiladi. ? ni toping. (?u yerda, ? > 0)

9. ∠CAD = 2∠ACD, AC =13a, BD = 5a va AB = CD bo’lsa, 20⋅cos ∠ACD ni toping.(chizmaga qarang!)

10. Soddalashtiring: bunda, |?| < 1.

11. y = x² − 2x + 3 parabolaga y = 3 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini tuzing.

12. u_n ketma-ketlik quyidagicha berilgan: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 8n. U holda, u₅₀ −u₃₀ ni toping.

13. ABC uchburchakda ctgA+ctgB= 3 va AB= 12 bo‘lsa, ABC uchburchak yuzini toping.

14. a²b⁵ = 6²⁰ tenglikni qanoatlantiruvchi nechta (?; ?) butun sonlar juftligi mavjud?

15. Soddalashtiring: 

16. To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir burchagi 60° ga teng. Bu burchakdan chiqarilgan bissektrisaning uzunligi 2 m. Uchburchakning gipotenuzasi uzunligini toping.

17. Nargizada 2 ta olma va 3 ta nok bor. U 5 kun ketma-ket har kuni singliga bittadan meva beradi. Bu ishni necha usul bilan amalga oshirish mumkin?

18. Natural son roppa-rosa 2 ta tub bo‘luvchiga, bu sonning kvadrati esa 45 ta turli natural bo‘luvchiga ega. Berilgan sonning kubi eng ko‘pi bilan nechta natural bo‘luvchiga ega bo‘lishi mumkin?

19. Tengsizliklar sistemasinining butun yechimlari sonini toping.

20. Uchlari A(2; −3), B(6; −1), C(6; 4) va D(2; 2) nuqtalarda bo‘lgan ABCD to‘rtburchak yuzini toping.

21. bo’lsa, P(−1) ni toping.

22. Doskaga ?₁, ?₂, ?₃, . . . , ?₂₀₀ sonlari yozilgan. Ma’lumki, ?₁ = 3, ?₂ = 9. Agar ixtiyoriy n natural son uchun ?_n+2 = ?_n+1 − ?_n tenglik o‘rinli bo‘lsa, ?₂₀₀ ni toping.

23. Tenglamani yeching:

24. ?(3) ∙ (? − 2) + ?(? − 1) = 3? bo‘lsa, ?(1) ni toping.

25. Hisoblang:

26. O‘tkir burchakli uchburchakning ikki tomon uzunliklari ayirmasi 8, bu tomonlarning uchinchi tomondagi proyeksiyalari mos ravishda 8 va 20 ga teng. Berilgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping.

27. formula bilan berilgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining o‘rta arifmetigini toping.

28. (3 − cos²x− 2sinx)(lg²y+ 2lgy+ 4) ≤ 3 bo‘lsa, sin²x+ 20y+ 1 ni toping.

29. Agar ifodaning qiymatini toping.

30. Muntazam uchburchak 36 ta yuzi 1 ga teng bo‘lgan kichkina muntazam uchburchaklardan iborat (chizmaga qarang!). ABC uchburchak yuzini toping.