Bo'lim: Matematika onlayn olimpiada

Koordinata boshidan o‘tuvchi, simmetriya o‘qi ordinata o‘qiga parallel, cho‘qqisi  y=x va y+x-2=0  to‘g‘ri chiziqlar kesishgan nuqtada bo‘lgan parabolaning tenglamasini toping.

ABC uchburchakda ctgA+ctgB= 3 va AB= 12 bo‘lsa, ABC uchburchak yuzini toping.

Ifoda qanday eng kichik qiymatni qabul qila oladi?

Tenglamani yeching:

??? uchburchakning ?? tomonida ? nuqta, ?? kesmada ?, ?? kesmada esa ? nuqtalar shunday olinganki, bunda ?? = 1, ?? = ?? = 2 va ?? = Agar ?? = ?? bo‘lsa, ?? ni toping.

9 ⋅ 3^2?+2 + 3 ⋅ 3^2?+1 − 9^? ⩽ 89 tengsizlikni yeching.

Chizmada ???? kvadrat aylanaga ichki ? nuqta aylanada olingan E nuqta bo‘lib, bunda ?? = 3√2 bo‘lsa, ?? + ?? yig‘indini toping.

Tenglamaning haqiqiy izdizlari yig‘indisini toping:

??? uchburchakning ? burchagining bissektrisasi ?? tomonni uzunliklari 28 va 12 ga teng kesmalarga Agar ?? − ?? = 18 bo‘lsa, ??? uchburchak perimetrini toping.

?(?) = (4 − ?)(1 − ?)(? + 4)(? + 7) funksiyaning eng kichik qiymatini

???? qavariq to‘rtburchakning diagonallari kesishgan nuqta ? bo‘lsin. Agar ??, ?? va ?? kesma uzunliklari o‘zaro teng va ?? = ??, ∠??? ≠ ∠??? shartlar bajarilsa, ??? burchakni toping.

a(x -1)² + b(x - c) = 2(x² - 4x +17) tenglik ayniyat bo‘lsa, a + b + c ni toping.

Yuzi 48 ga teng ???? trapetsiyada ?? va ?? asoslar (?? > ??). ? nuqta - diagonallari kesishgan ??? uchburchak yuzi 9 ga teng bo‘lsa, ??: ?? nisbatni toping.

ABCDE -muntazam beshburchak, x burchakni toping.(chizmaga qarang)

Kubchaning yoqlariga 6 dan 11 gacha bo'lgan 6 ta natural sonlar yozilgan. Kubcha ikki marta tashlandi. Birinchi marta to'rt yon yog‘idagi sonlar yig'indisi 36 ga, ikkinchi marta esa 33 ga teng bo‘ldi.10 soni yozilgan yoqga qarama-qarshi yoqda qanday son yozilgan?

? sonining natural bo‘luvchilari sonini ?(?) orqali Agar ?() = 36 bo‘lsa, ? + ? yig‘indining eng katta qiymatini toping. ( −olti xonali son)

??? (? − ?/3) = ??? (2? + ?/2) tenglama (−90^°; 90^°) oraliqda nechta yechimga ega?

? = 3? + 12 ?? ? = 0,5? −3 to‘g‘ri chiziqlar va absissa o‘qi bilan chegaralangan uchburchak yuzini toping.

Tengsizlik nechta butun yechimga ega?

?? = 600 shartni qanoatlantiradigan ? va ? natural sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisining eng katta qiymati nimaga teng bo‘lishi mumkin?

Quyidagilardan qaysi biri musbat son?

?⁴ − 2?? + ? ko‘phad ?² − 2? − 1 ko‘phadga bo‘linsa, ? + ? ni toping.

  (5 ∗ (5 ∗ 6)) ni toping.

ABCDE -muntazam beshburchak, x burchakni toping.(chizmaga qarang)

Uchta sonning yig‘indisi 28 ga teng. Bu sonlarni 4 asosga ko‘ra logarifmlari o‘suvchi arifmetik progressiyani tashkil qiladi va uning dastlabki uchta hadi yi‘gindisi 4,5 ga teng. Arifmetik progressiyaning ayirmasini toping.

Kolbaga 60 litr suv va 15 litr spirt quyildi. Keyin aralashmaning 1/3 qismi to’kib tashlandi va qanchadir toza suv quyildi. Shundan so‘ng aralashmadagi spirtning foiz miqdori ikki barobar kamaygan bo‘lsa, aralashmaga necha litr toza suv quyilgan?

Agar ?(?) = ?²⁰²¹ + 3?²⁰²⁰ + 3?²⁰¹⁹ − ?²⁰¹⁸ + 1 bo‘lsa, ni toping.

1. Otasi 41 yoshda  katta o`g`il 13 yoshda , qizi 10 yoshda  kichik o`g`li 6 yoshda . Necha yildan keyin otasining yoshi hamma bolalari yoshlarining yi`gi`indisiga teng bo`ladi ?

2. Tenglamani yeching: 5x-1:4+19=30

8. Ifodaning qiymatini toping :

12. Basseyn ikkita quvur bilan 7,5 soatda to`ldiriladi. Birinchi quvurning yolg`iz o`zi basseynni ikkinchi quvurning yolg`iz o`zi to`ldirganidan 8 soat tezroq to`ldiradi . Birinchi quvurning alohida o`zi basseynni necha soatda to`ldira oladi ?

13. 20 dan katta va 40 dan kichik sonlar orasida nechta son o’zining o’nlar xonasidagi raqamiga bo’limaydi?

14. Mirkomil minglar xonasidagi raqam 5, o’nlar xonasidagi raqam 7 ga teng bo’lgan to`rt xonali sonlarni yozdi. Bunda u yuzlar xonasiga faqat juft raqamlardan, birlar xonasiga esa faqat toq raqamlardan foydalandi. Mirkomil eng ko`pi bilan nechta son yoza oladi?

15. Parovoz ma`lum masofani 2,25 sutkada o`tishi kerak edi , lekin u har soatda mo`ljaldagidan 25 km ko`p yo`l o`tganligi va shuning uchun mo`ljallangan masofani 2 sutkada o`tganligi ma`lum bo`ldi .Paravoz qancha masofa  o`tgan ?

16. Hisoblang: 1140:15+40∙33:4

17. Do’konga 237 kg guruch olib kelindi. Do’kondan dastlabki to’rt kunda 26 kg dan va keyingi har bir kunda 19 kgdan guruch sotildi. Do’kondagi guruch jami necha kunda sotib bo’lingan?

18. Kitob uchinchi betdan boshlab sahifalanyapti. Bu kitobda 2 raqami 33 marta takrorlanadi. Kitob eng ko’pi bilan necha betdan iborat bo’lishi mumkin?

19. 3 ga bo`linmaydigan  sonning kvadratidan  bittaga kam bo`lgan  son , qaysi songa qoldiqsiz bo`linadi?

22. 2,5,6,9 raqamlarining barchasidan bir martadan foydalanib, ikkita ikki xonali son hosil qilindi. Ularning farqi eng kamida necha bo‘lishi mumkin?

24. Restoranda 7 ta ikki kishilik, 8 ta uch kishilik va 10 ta to’rt kishilik stollar bor. Xuddi shunday 4 ta restoran bir vaqtning o`zida ko’pi bilan necha kishini qabul qila oladi?

25. Do’konda birinchi kuni ikkinchi kundagidan 24 kg kam kartoshka sotildi. Ikkinchi kuni uchinchi kundagidan 5 kg ko’p kartoshka sotildi. Agar do’konda ikkinchi kuni 50 kg kartoshka sotilgan bo’lsa, do’konda uch kunda jami necha kg kartoshka sotilgan?

10

? ning qanday eng kichik natural qiymatida ?! soni aynan 2023 ta 0 raqami bilan tugaydi?

x, y haqiqiy sonlar uchun x + y −xy = 155 va x² + y²= 325 bo`lsa, |x³ − y³| ning eng katta qiymatini toping

{a; b; c}∈{1,2,3,4,5,6,7,8} Necha xil usulda tanlab olish mumkin bunda abc + (9 − a)(9 − b)(9 − c) ifoda 6 ga bo`linadi.

Quyidagi chizmada noma’lum shaklning yoyilmasi tasvirlangan, o’sha shaklning uchlari sonini toping.

? natural son uchun 20? − ?³/2 ko`rinishidagi natural sonlar yig`indisini toping.

11 ta ketma-ket natural sonlarning yig’indisini hisoblaganda Anvar ehtiyotsizlik qilib ikkita ketma-ket sonni tashlab ketdi va natijani 9832 chiqardi. To’g’ri yig’indi nechaga teng?

2023 ta son ketma-ket tartib bilan yozilgan. 1-son 13 ga, 11-son 23 ga, 111-son 33 ga teng. Ixtiyoriy 3 ta ketma-ket sonning yig’indisi hisoblab ko’rilsa bir xil natija xosil bo’ladi. 2023-sonni toping.

?, ? natural sonlar uchun √3(? − ?) > ?² − ?² bo`lsa, quyidagilardan nechtasi har doim to`g`ri bo`ladi?
I. ? + ? > 3
II. ?² + ?² ≥ 5
III. ? ≥ ?

Matematika olimpiadasida 25 ta savol bor. Agar o’quvchi to’g’ri yechsa 5 bal oladi, agar noto’g’ri javob yozsa 1 bal yo’qotadi, javob yozmasa ball olmaydi. Jasur imtihonda 56 ball oldi. Eng ko’pi bilan u nechta savolga javob yozgan?

Markazi O nuqtada bo’lgan ikkita radiuslari 1 va 3 ga teng bo’lgan ikkita aylana chizilgan. Agar chizmada tasvirlangan ikkita bo’yalgan soha yuzlari o’zaro teng bo’lsa, ∠POQ ni toping.

Nechta (?, ?) natural sonlar juftligi uchun 3^? + 7ⁿ soni 10 ga bo’linadi. Bunda 1 ≤ ? ≤ 100, 101 ≤? ≤ 205

Nechta uch xonali sonni biror raqami boshqa ikkita raqaminig yig’indisiga teng bo’ladi.

Olimjon o’z qulfiga 10 raqamli parol qo’ydi lekin u parolini unutib qo’ydi. Lekin aniq eslaydiki, parolning 1- va 10-raqamlari yig’indisi 5 ga, 2-va 9-raqamlari yig’indi 7 ga teng. 3-va 8-raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linadi. 4-, 5-, 6- va 7- raqamlari yig’indisi 35 ga teng. Olimjon shu qulfni nechta urunishda ocha oladi?

ABCD to`rtburchakda AB = AD, ∠DAC = 76°, ∠BAC = 40° va ∠BCD = 122°. ∠CBD =?

ABC uchburchakda AD balandlik va CE bissiktrisa. Agar ∠CEA = 45° bo`lsa, ∠EDB ni toping.

Rasmda berilgan radiuslari 1 bo’lgan 4 ta aylananing markazlari burchaklarning uchlaridir. Bo’yalgan soha yuzlari yig’indisini toping. (bunda π = 22/7)

Hayvonot bog’ida jirafa katetlari 12m va 16m bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak shakldagi qafasga qamalgan. Jirafa shu qafasning ichidagi va qafas tashqaridagi 1m gacha masofadagi o’tni yeya oladi. Jirafa jami qancha maydondagi o’tni yeya oladi.

Kubning yoqlariga A, B, C, D, E, F harflari yozib chiqilgan. Chumoli kubning har bir yoqida bir martadan bo’lib uni yoqlari bo’ylab aylanib chiqmoqchi. Masalan ABCFED va ABCEFD. Agar Chumoli boshida A yoqda turgan bo’lsa, u kubni necha xil usulda aylanib chiqishi mumkin?

?³ − 4? − 1 = 0 tenglama 2 ta manfiy hamda 1 ta musbat ildizga ega. Uning ildizlari ?, ?, ? bo`lsin. Agar ? = |?| + |?| + |?| bo`lsa, u holda ?³ − 16? + 3 ning qiymatini toping.

Rasmda to’g’ri to’rtburchakning ichida to’g’ri to’rtburchakka va o’zaro urinib turuvchi 8 ta radiusi 1 ga teng aylana tasvirlangan. Aylanalardan to’rttasi to’rtburchakning ikkita tomoniga va ikkita aylanaga urinib turadi va qolgan to’rttasi esa to’rtburchakning bir tomoniga va uchta aylanaga urinib turadi. Bo`yalgan soha yuziga eng yaqin butun sonni toping.

m va n natural sonlar 3m²= 5n³ shartni qanoatlantiradi. m+n ning qabul qila oladigan eng kichik qiymatini toping.

1/2024< ? < 1/2023 bo`lsa quyidagilardan qaysi biri eng katta?

? = 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11! soni berilgan. ? ni qanday eng kichik natural songa ko`paytirganda to`la kvadrat hosil bo`ladi.

20{?} + (1/3)[?] = 2023 tenglama nechta haqiqiy yechimga ega?

ABC uchburchakda ∠ABC = 70°, ∠BCA = 35°. Agar BD bissiktrisa va AD = 2, DC = 3 bo`lsa, AB ∙BC ni toping.