Bo'lim: Matematika olimpiada

1. Funksiya grafiklar bilan chegaralangan figura yuzini toping.

2. To‘g‘riburchakli uchburchakning tomonlari ayirmasi 1,5 ga teng arifmetik progressiya tashkil qiladi. Uchburchak perimetrini toping.

3. Tenglamaning haqiqiy ildizlari yig‘indisini toping: (?² − 6?)² − 2(? − 3)² = 81

4. Yig‘indini toping.

5. ABCDE beshburchak aylanaga tashqi chizilgan. Agar A, C va E burchaklarning har biri 120^° bo‘lsa,  ∠ACE burchak nimaga teng? (chizmaga qarang)

6. Hisoblang:

7. АВКС qavariq to‘rtburchakda ?? tomon √3 ga, ?? diagonal 1 ga АВС, ВКА va ВКС burchaklar mos ravishda 120^°, 30^° va 60^°ni tashkil qiladi. ???∠??? ning qiymatini toping.

8. Teng yonli trapetsiyaning diagonali o‘tkir burchagining bissektrisasi. Katta asosi 19 ga, perimetri 40 ga teng bo‘lsa, trapetsiyaning o‘rta chizig‘ini toping.

9. Agar +?^?  = 115 bo‘lsa, bu yerda ?, ? −raqamlar, 7? + 6? ni toping.

10. ?(?) funksiya uchun ?(0) + ?(? − 1) = 4? − 2 tenglik o‘rinli bo‘lsa, ?(?(3) − 2?(1)) ni toping.

11. Hisoblang.

12. Chizmada ABCD parallelogram p, q, r va s mos ravishda ALK, BNK, DLM va CNM uchburchaklarning yuzlari. Quyidagi munosabatlardan qaysi biri doim to‘g‘ri?

13. Ifodaning ozod hadini toping.

14. Tengsizlikni yeching.

15. Tengsizlikning butun yechimlari sonini toping:

16. Perimetri 2? va yuzi 1/6 ?² ga teng bo‘lgan to‘g‘rito‘rtburchakning diagonallari orasidagi burchakni toping.

17. АВС teng yonli uchburchakning АВ asosidagi ? nuqta orqali o‘tkazilgan СD to‘g‘ri chiziq АВС uchburchakka tashqi chizilgan aylanani Е nuqtada kesib o‘tadi. Agar ?? = ?? = 4√2 bo‘lsa, АС ni

18. Turnirda to‘rtta futbol jamoasi o’zaro bir-biri bilan bir martadan o‘ynadi. G'alaba uchun 3 ochko, durang uchun 1 ochko beriladi. Jamoalar 5, 3, 3 va 2 ochkolarni qo'lga kiritishgan bo‘lsa, nechta o’yin durang natija bilan tugagan?

19. tenglama nechta haqiqiy yechimga ega?

20. Tenglamaning haqiqiy ildizlari ko‘paytmasini toping:

21. Korxona xom−ashyuo qimmatlashgani sababli maxsulot narxi  20%  ga oshirildi,   biroq mijojlar soni 20 %  ga kamayib ketdi. Shunda korxona narxni qanchadir foizga kamaytirib mijozlari sonini 25%  ga oshirishga erishdi.   Shundan keyin korxona tushumi narx o`zgarmasdan oldingi tushumga qaraganda  8%  ga oshgan bo`lsa,  yangi narx necha foizga kamaytirilgan?

22. a < 0 < b < c bo‘lsa, quyidagilardan qaysi biri a,b, c haqiqiy sonlarning ixtiyoriy qiymatida doimo musbat boladi?

23. ?, ?, ? va ? sonlari geometrik progressiyaning ketma-ket hadlari. Agar ? + ? = 10, ? ⋅ ? = 7 ekanligi ma’lum bo‘lsa, ?³ + ?³ ni toping.

24. Tenglamani yeching:

25. Tenglamaning ildizi bo‘lsa, 16^√2 ∙ ?₀ ni hisoblang.

26. 10²⁰²² − 2²⁰²¹ ayirmani 24 ga bo‘lgandagi qoldiqni toping.

27. Yon tomoni 8 ga teng bo‘lgan teng yonli trapetsiyaga radiusi 3 ga teng aylana ichki chizilgan. Trapetsiya yuzini toping.

28. Agar bo‘lsa, ?(? − 1)(? − 2) + ? ni toping

29. А va В shaharlar orasidagi masofa 80 км. А shahardan В shaharga mashina yo‘lga chiqdi, oradan 20 minut o‘tgach tezligi 90km/h bo‘lgan mototsikl mashina izidan yo‘lga chiqdi va mashinani C shaharda (C shahar A va B shaharlar orasida) quvib yetdi hamda darhol orqaga qaytdi. Mashina B shaharga yetib kelganda, mototsiklchi C dan A gacha masofaning yarmini bosib o‘tdi. A va C shaharlar orasidagi masofani toping.

30. A(x₀ ; y₀) nuqta y = 2x² - bx + 1 parabola uchi bo‘lsa, y₀ + 2x₀²  ifadaning qiymatini toping.

143 ga bo'linadigan sonni hosil qilish uchun 2022 sonining o'ng tomoniga qanday ikkita raqam yozish kerak?

? ∗ b belgilash ab ko’paytmaning raqamlari yig’indisini bildiradi. U holda (15 ∗ 10) ∗ (1510) ni toping.

?, ?, ? −butun sonlar va ?²bc = 1 bo‘lsa, quyidagilardan qaysi biri har doim to‘g‘ri?

Soddalashtiring:

Teng yonli trapetsiyaning diagonali o‘tmas burchagining bissektrisasi. Agar uning katta asosi 17, perimetri 56 bo‘lsa, trapetsiyaning diagonallarining o‘rtalarini tutashtiruvchi kesma uzunligini toping.

??? to'g'ri burchakli uchburchakning ?? gipotenuzasida ?? = ?? va ?? = ?? shartlarni qanoatlantiradigan ? va ? nuqtalar olingan. ??? burchakni toping.

Teploxod oqim bo‘yicha ?? punktdan ?? punktgacha masofani 5 soatda, qaytishda esa oqimga qarshi ?? punktdan ?? punktgacha masofani 8 soat 20 minutda bosib o‘tdi. Agar ?? va ?? punktlar orasidagi masofa 100 km bo‘lsa, teploxodning o‘z tezligini toping.

tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping.

?????? muntazam oltiburchakning ?? tomoni orqali o’tuvchi to'g'ri chiziqda ∠???? = 45° bo'ladigan qilib ?? nuqta olingan. ∠???? burchakni toping.

Soddalashtiring:

Tengsizlikning butun yechimlari o‘rta arifmetigini toping.

19 ga bo'linadigan va 19 bilan tugaydigan nechta to'rt xonali sonlar bor?

? va ? − butun sonlar, 2?? + ? = 14 va ?? ⩾ 9 bo‘lsa, 2? − 3? ni

Tenglamani yeching:

8 dan 17 gacha (8 va 17 kiradi) bo'lgan butun sonlar orasida mumkin bo‘lgan eng kam sondagi sonlarni shunday o'chiringki, bunda qolgan sonlarning ko'paytmasi to'la kvadrat bo'lsin. Barcha o’chiriladigan sonlar yig'indisini toping.

Bir xonadagi 9 kishining o'rtacha yoshi 25 ga, boshqa xonada o‘tirgan 11 kishining o‘rtacha yoshi 45 ga teng. Ikkala xonadagi barcha 20 kishining o'rtacha yoshini toping.

Hovuzga uchta quvur o‘tkazilgan. Birinchisi hovuzni 12 soatda, ikkinchisi 8 soatda to‘ldiradi. Uchinchisi hovuzni 1 sutkada bo‘shatadi. Agar uchala quvur birgalikda ochib qo‘yilsa, bo‘sh hovuzning yarmi qancha vaqt(soat)da to‘ladi?

Soddalashtiring

Quyidagi sonlarning qaysi biri butun son?

АВС uchburchakning СN – mediana. СN to‘g‘ri chiziqda С nuqtadan keyin К nuqta olingan, bunda ?? = ??. Agar ∠??? = 60° va ?? = 4 bo‘lsa, ?? ni toping.

ABC teng yonli uchburchakning AC asosida D nuqta olingan, bunda CD = 2 va CL bissektrisa (L ∈ AB) DL kesmaga perpendikulyar. AL ni toping.

Hisoblang:

40 kishilik sayyohlar guruhida 20 kishi ingliz tilini, 15 kishi fransuz tilini, 11 kishi ispan tilini biladi. Sayyohlar orasida ingliz va fransuz tilini 7 kishi, ingliz va ispan tilini 5 kishi, fransuz va ispan tilini 3 kishi biladi. Ikkita sayyoh uchala tilni ham biladi. Guruhdagi nechta sayyoh birorta ham tilni bilmaydi?

? + 3? = 8 bo‘lsa, (2? − 6?): (0,25?² − 2,25?²) ni toping.

Agar sin x + cos x = 1,04 tenglik o’rinli bo’lsa, x  qaysi chorakda joylashgan?

1. Dinara, Rayxona, Lola, Go‘zal konsertda ishtirok etdi. Har bir qo‘shiq 3 ta qiz tomonida ijro etildi. Dinara 8 ta qo’shiq aytdi- u hammadan ko‘p qo‘shiq aytgan. Lola hammadan kam – 5 ta qo‘shiq ijro etdi. Konsertda nechta qo‘shiq aytildi.

2. 12 ga bo`linadigan ikki xonali sonlar nechta?

3. Aka va ukaning hozirgi yoshlari yig`indisi 14 ga teng. 3 yil oldin aka ukadan 7 marta katta edi. 5 yildan keyin akaning yoshi nechaga teng bo`ladi?

4. (2+(2-(2+2-(2-2)))+(3+(3+(3-3))) hisoblang

5. Besh xonali 24X8Y soni 4, 5 va 9 ga bo’linadi. X+Y ni toping 

6. 23,28,38,49,62,70, ___?

7. 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4 raqamlarini shunday tartibda qo’yingki, hosil bo֮lgan sonda birlar orasida bitta raqam, ikkilar orasida ikkita raqam, uchlar orasida uchta raqam, to‘rtlar orasida esa to‘rtta raqam bo‘lsin

8. To‘g‘ri to‘rtburchakning bo‘yi 150cm, eni esa 5 cm. To`g`ri to`rtburchakning perimetrini toping

9. Mototsiklchi 5 soatda velosipedchi 4 soatda o‘tgan masofadan 259 km ortiq masofani bosib o‘tadi. Velosipedchi 10 soatda mototsiklchi 2 soatda bosib o‘tadigan masofasidan 56 km ortiq masofani bosib o‘tadi. Velosipedchining tezligini toping

10. 32 foizi 40 ga teng bo`lgan sonni toping

11. 2, 3, 5, 0 raqamlaridan takroriy foydalanmasdan nechta uch xonali juft son yozish mumkin?

12. 81:x+92:23+51:3=x+21 tenglamani yeching

13. O‘qituvchi sinfda dars o‘tyapti. O‘qituvchining o‘rtacha yoshi sinfdagi o‘qituvchilar yoshidan 24 yosh katta, sinfdagi barchaning o‘rtacha yoshidan esa 22 yosh katta. Sinfdagi o‘quvchilar sonini toping?

14. Taqqoslang a=53∙55, b=54∙54, c =52∙56

15. (2+(2-x))+(3-(3-x))=x tenglamani yeching

16. Anvarning opa-singillari soni uning aka-ukalaridan 2 nafarga ortiq. Oilad qizlar o‘g‘il bolalardan nechta ortiq?

17. Oiladagi bir o‘g‘ilning opa-singillar soni ining aka-ukalari soniga teng. Bu o‘g‘ilning opasida esa opa-singillari soni aka-ukalar sonidan 2 marta kam. Oilada o‘g‘il farzand nechta?

18. Ikkita kitob javonida jami 25 ta kitob bor. Bir javonda ikkinchisidan 3 ta ortiq kitob bo‘lsa, har bir javonda nechtadan kitob bor?

19. Tenglamani yeching: 4x+11:3+9=42

20. Agar bo’linma bo‘linuvchidan 2 marta kichik va bo‘luvchidan 2 marta katta bo‘lsa, bo’linmani toping.

Kasrni qisqartiring:   (a√a-b√b)/(a√a+b√a+a√b)

Uchburchakning ikki bissektrissasining kesishishidan hosil bo`lgan burchak 128⁰ ga teng. Uchburchakning uchinchi burchagini toping.

To`g`ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga tushirilgan medianasi 8 sm. Uchburchakning burchaklaridan biri  60⁰  bo`lsa, bu burchakka yopishgan tomonlarini toping (sm).