11-sinf Matematika olimpiada №4

1. To‘g‘ri burchakli uchburchakda AC=3, BC=4, CD-balandlik va CE-bissektrisa. DE ni toping.

2. |x²+2x-8|=3a tenglama  a  ning  qanday  qiymatlarida  3  ta  haqiqiy  yechimga  ega  bo`ladi.

3. y=6sin2x+sin12x  funksiyaning hosilasini  toping.

4. АВС uchburchak ∠C=60° burchagining bissektrisasi 5√3 ga teng. Agar АС : ВС = 5 :2 bo‘lsa, ВС ni toping.

5. Agar ? + 4/√?= 17 bo‘lsa, ? + 4√? ni toping.

6. y = x² − 2x + 3 parabolaga y = 3 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini tuzing.

7. ABC uchburchakda ctgA+ctgB= 3 va AB= 12 bo‘lsa, ABC uchburchak yuzini toping.

8. O‘tkir burchakli uchburchakning ikki tomon uzunliklari ayirmasi 8, bu tomonlarning uchinchi tomondagi proyeksiyalari mos ravishda 8 va 20 ga teng. Berilgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping.

9. To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir burchagi 60° ga teng. Bu burchakdan chiqarilgan bissektrisaning uzunligi 2 m. Uchburchakning gipotenuzasi uzunligini toping.

10. u_n ketma-ketlik quyidagicha berilgan: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 8n. U holda, u₅₀ −u₃₀ ni toping.

11. a²b⁵ = 6²⁰ tenglikni qanoatlantiruvchi nechta (?; ?) butun sonlar juftligi mavjud?

12. Raqamlari yig‘indisi 10 dan kam bo‘lmagan, raqamlari ko‘paytmasi esa 10 dan katta bo‘lmagan uch xonali sonlar nechta?

13. Hisoblang:

14. Tengsizliklar sistemasinining butun yechimlari sonini toping.

15. Uchlari A(2; −3), B(6; −1), C(6; 4) va D(2; 2) nuqtalarda bo‘lgan ABCD to‘rtburchak yuzini toping.

16. Agar ifodaning qiymatini toping.

17. Soddalashtiring:

18. Natural son roppa-rosa 2 ta tub bo‘luvchiga, bu sonning kvadrati esa 45 ta turli natural bo‘luvchiga ega. Berilgan sonning kubi eng ko‘pi bilan nechta natural bo‘luvchiga ega bo‘lishi mumkin?

19. ?(3) ∙ (? − 2) + ?(? − 1) = 3? bo‘lsa, ?(1) ni toping.

20. Muntazam uchburchak 36 ta yuzi 1 ga teng bo‘lgan kichkina muntazam uchburchaklardan iborat (chizmaga qarang!). ABC uchburchak yuzini toping.

21. BC = BE = CD ,∠DAE = 20°, ∠BCD = 60° ,∠ADE = ? (chizmaga qarang)

22. Arifmetik progressiyada ?₂ = 12, ?₇ − ?₄ = 9 bo‘lsa, ?₁₉ ni toping.

23. Soddalashtiring: bunda, |?| < 1.

24. (3 − cos²x− 2sinx)(lg²y+ 2lgy+ 4) ≤ 3 bo‘lsa, sin²x+ 20y+ 1 ni toping.

25. Nargizada 2 ta olma va 3 ta nok bor. U 5 kun ketma-ket har kuni singliga bittadan meva beradi. Bu ishni necha usul bilan amalga oshirish mumkin?

26. Soddalashtiring: 

27. Agar    bo‘lsa sin²α ni toping.

28. ? soniga teskari bo‘lgan son ? ning 9% ini tashkil qiladi. ? ni toping. (?u yerda, ? > 0)

29. bo’lsa, P(−1) ni toping.

30. Soatning minut mili 144° ga burilganda, soatning soat mili qanday burchakka burilada?