10-sinf Matematika olimpiada №5

1. Ninachi va chivin to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanmoqda. Ninachi chivinni quvib yetmoqchi. Ninachining tezligi 1,2 m/s va chivinniki 30 sm/s. Necha sekunddan so‘ng ular orasidagi masofa 6,5 m dan 20 sm gacha qisqaradi?

2. f(x)=x²-4x va f(x)=-2x²+8x-p funksiyalar umumiy uchga ega bo`lsa, p ning qiymatini toping.

3. ?(?) = ?⁵ − 7?⁴ + 3?³ − ? + 2 ko‘phadni ?² + ? ga bo‘lgandagi qoldiqni aniqlang.

4. k parametrning qanday musbat qiymatida 20x²+ ?x + 5 = 0 tenglama bitta ildizga ega?

5. Tengsizlikni yeching.

6. Ifodaning ozod hadini toping.

7. АВС teng yonli uchburchakning АВ asosidagi ? nuqta orqali o‘tkazilgan СD to‘g‘ri chiziq АВС uchburchakka tashqi chizilgan aylanani Е nuqtada kesib o‘tadi. Agar ?? = ?? = 4√2 bo‘lsa, АС ni

8. Agar +?^?  = 115 bo‘lsa, bu yerda ?, ? −raqamlar, 7? + 6? ni toping.

9. ? va ? parametrlarning qanday qiymatlarida tenglik ayniyat bo‘ladi?

10. Tenglama ildizlari yig‘indisini toping.

11. To‘g‘riburchakli uchburchakning tomonlari ayirmasi 1,5 ga teng arifmetik progressiya tashkil qiladi. Uchburchak perimetrini toping.

12. a < 0 < b < c bo‘lsa, quyidagilardan qaysi biri a,b, c haqiqiy sonlarning ixtiyoriy qiymatida doimo musbat boladi?

13. ?(?) funksiya uchun ?(0) + ?(? − 1) = 4? − 2 tenglik o‘rinli bo‘lsa, ?(?(3) − 2?(1)) ni toping.

14. ABCDE beshburchak aylanaga tashqi chizilgan. Agar A, C va E burchaklarning har biri 120^° bo‘lsa,  ∠ACE burchak nimaga teng? (chizmaga qarang)

15. ??? uchburchakning ?? tomonida ? nuqta , ?? tomonida esa ? nuqta olingan, bunda ?? = ?? = 1 va ?? = 3.  Agar ?? tomon davomida ? nuqtadan keyin ?? = 4 va ?? = ?? shartlarni qanoatlantiradigan ? nuqta olingan bo‘lsa, ?? kesma uzunligini toping.

16. Turnirda to‘rtta futbol jamoasi o’zaro bir-biri bilan bir martadan o‘ynadi. G'alaba uchun 3 ochko, durang uchun 1 ochko beriladi. Jamoalar 5, 3, 3 va 2 ochkolarni qo'lga kiritishgan bo‘lsa, nechta o’yin durang natija bilan tugagan?

17. АВКС qavariq to‘rtburchakda ?? tomon √3 ga, ?? diagonal 1 ga АВС, ВКА va ВКС burchaklar mos ravishda 120^°, 30^° va 60^°ni tashkil qiladi. ???∠??? ning qiymatini toping.

18. Tenglamani yeching:

19. Agar bo‘lsa, ?(? − 1)(? − 2) + ? ni toping

20. Tengsizlikning butun yechimlari sonini toping:

21. Chizmada ABCD parallelogram p, q, r va s mos ravishda ALK, BNK, DLM va CNM uchburchaklarning yuzlari. Quyidagi munosabatlardan qaysi biri doim to‘g‘ri?

22. Yon tomoni 8 ga teng bo‘lgan teng yonli trapetsiyaga radiusi 3 ga teng aylana ichki chizilgan. Trapetsiya yuzini toping.

23. Hisoblang.

24. Tenglamaning haqiqiy ildizlari yig‘indisini toping: (?² − 6?)² − 2(? − 3)² = 81

25. Tengsizlikning butun yechimlari o‘rta arifmetigini toping.

26. Tenglamaning haqiqiy ildizlari ko‘paytmasini toping:

27. А va В shaharlar orasidagi masofa 80 км. А shahardan В shaharga mashina yo‘lga chiqdi, oradan 20 minut o‘tgach tezligi 90km/h bo‘lgan mototsikl mashina izidan yo‘lga chiqdi va mashinani C shaharda (C shahar A va B shaharlar orasida) quvib yetdi hamda darhol orqaga qaytdi. Mashina B shaharga yetib kelganda, mototsiklchi C dan A gacha masofaning yarmini bosib o‘tdi. A va C shaharlar orasidagi masofani toping.

28. A(x₀ ; y₀) nuqta y = 2x² - bx + 1 parabola uchi bo‘lsa, y₀ + 2x₀²  ifadaning qiymatini toping.

29. Teng yonli trapetsiyaning diagonali o‘tkir burchagining bissektrisasi. Katta asosi 19 ga, perimetri 40 ga teng bo‘lsa, trapetsiyaning o‘rta chizig‘ini toping.

30. Yig‘indini toping.