10-sinf Matematika olimpiada №7

Agar x² + x = 7 bo‘lsa, 2 + 70𝑥 − 𝑥² − 𝑥⁵ ning qiymatini toping.

Soddalashtiring:

202000 sonining nechta natural bo‘luvchisi mavjud?

ABCD qavariq to‘rtburchakning AB va CD tomonlari o‘rtalari orasidagi masofa uning diagonallarining o‘rtalari orasidagi masofaga teng. BC va AD to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan hosil bo‘lgan burchakni toping.

(Javobni gradusda kriting. Masalan:50)

АВС uchburchakda: cos 3𝐴 − sin(𝐵 − 𝐴) = 2 va 𝐴𝐵 = 2√3 bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping.

Agar |𝑎 + 1| ≤ 2 va 𝑎 + 𝑏 = 4 bo‘lsa, u holda 𝑎𝑏 − 2𝑎 ifodaning eng kichik qiymatini toping.

ABCD to‘rtburchakda А va С – to‘g‘ri burchaklar, АВ = ВС = 3 va BD = 5. AD va CD tomonlarda mos ravishda olingan Е va F nuqtalar uchun АЕ = 1 va СF = 2 shartlar bajariladi. Agar ABCFE beshburchak yuzi 𝑆 bo‘lsa, u holda 100 ∙ 𝑆 ni toping.

Teng yonli uchburchakning asosi va yon tomoniga tushirilgan balandliklari mos ravishda 4 va 6 ga teng. Uchburchak perimetrini toping.

Ifodaning qiymatini toping: 1! ∙ 3 − 2! ∙ 4 + 3! ∙ 5 − 4! ∙ 6 + ⋯ − 2000! ∙ 2002 + 2001! (bu yerda, 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛)

Arifmetik progressiyada 𝑎₈ + 𝑎₁₇ + 𝑎₂₇ + 𝑎₃₂ =92 bo‘lsa, uning dastlabki 41 ta hadi yig‘indisini toping (𝑆₄₁).

Idishdagi 10%li spirt aralashmasining uchdan bir qismi quyib olindi va uning o‘rniga idishning 5/6 qismiga yetguncha suv quyildi. Idishda hosil bo‘lgan aralashmadagi spirtning foizi qancha?

Barcha raqamlari turlicha bo‘lib, 9 ga bo‘linadigan eng kichik besh xonali sonni toping.

АВС uchburchakda CD to‘g‘ri burchak bissektrisasi. D nuqtadan AC tomonga DM =√3 perpendikulyar tushirilgan. Agar AD = 2√3 bo‘lsa, u holda ВС ni toping.

𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 12, 𝐴𝐶 = 8. 𝐴𝑁 bissektrisa va 𝐵𝑀 mediana 𝑃 nuqtada kesishadi. 𝐵𝑃/𝑃𝑀 nisbatni toping.

Tenglamani yeching:

100! /6¹⁰⁰   kasr qisqartirilgandan keyin hosil bo‘lgan kasr maxrajini toping.

ABCD kvadratnng AD tomonida K nuqta olindi, AB nurning davomida B dan keyin L nuqta olindi. Agar ∠LKC = 450, AK = 1, KD = 2 bo’lsa, LB ni toping.

Soddalashtiring:

ABCD kvadratning tomonlari 6 ga teng. BC va CD tomonlarda P va Q nuqtalar shunday olinganki, bunda AP va AQ kesmalar kvadratni  yuzlari teng bo‘lgan uchta qismga ajratadi. APQ uchburchak yuzini toping.

x < |x| va xy³ < 0 bo’lsa, soddalashtiring: |x − y| − |−y| − |−x|

Nechta 100 dan kichik butun musbat sonlar 2 ga ham, 3 gaga ham, 5 ga ham bo‘linmaydi?

Agar (x₁ ; y₁ ), (x₂ ; y₂ ) -sistemaning yechimlari bo‘lsa,    u holda x₁ y₁ + x₂ y₂ ni toping.

Agar ixtiyoriy x uchun f (2x −1) = 1− 4x² bo‘lsa, u holda f (x) funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Tengsizlikning butun yechimlari yig‘indisini toping:

tenglamaning ildizi … oraliqda yotadi.

Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping: 100x³ − x² = 99x

O‘tkir burchakli ABC uchburchakning AD va CE balandliklari o‘tkazildi. M va N nuqtalar mos ravishda A va C uchlardan DE to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asoslari. ME:DN nisbatni toping.

Agar ni toping.

D soni 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏 keltirilgan kvadrat uchhadning diskriminanti bo’lsin (𝐷 ≠ 0). Agar uchhad ildizlaridan biri D ga, ikkinchisi 2D ga teng bo’lsa, u holda 𝑎 + 𝑏 ni toping.

Qavariq ABCD to‘rtburchakda AD = DC, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 20° va ∠ABC = 150°. ∠BCA burchakni toping.

(Javobni gradusda kriting. Masalan:50)