Al-Xorazmiy olimpiadasi Matematika №2

?, ? natural sonlar uchun √3(? − ?) > ?² − ?² bo`lsa, quyidagilardan nechtasi har doim to`g`ri bo`ladi?
I. ? + ? > 3
II. ?² + ?² ≥ 5
III. ? ≥ ?

Rasmda to’g’ri to’rtburchakning ichida to’g’ri to’rtburchakka va o’zaro urinib turuvchi 8 ta radiusi 1 ga teng aylana tasvirlangan. Aylanalardan to’rttasi to’rtburchakning ikkita tomoniga va ikkita aylanaga urinib turadi va qolgan to’rttasi esa to’rtburchakning bir tomoniga va uchta aylanaga urinib turadi. Bo`yalgan soha yuziga eng yaqin butun sonni toping.

Nechta (?, ?) natural sonlar juftligi uchun 3^? + 7ⁿ soni 10 ga bo’linadi. Bunda 1 ≤ ? ≤ 100, 101 ≤? ≤ 205

? ning qanday eng kichik natural qiymatida ?! soni aynan 2023 ta 0 raqami bilan tugaydi?

Matematika olimpiadasida 25 ta savol bor. Agar o’quvchi to’g’ri yechsa 5 bal oladi, agar noto’g’ri javob yozsa 1 bal yo’qotadi, javob yozmasa ball olmaydi. Jasur imtihonda 56 ball oldi. Eng ko’pi bilan u nechta savolga javob yozgan?

ABCD to`rtburchakda AB = AD, ∠DAC = 76°, ∠BAC = 40° va ∠BCD = 122°. ∠CBD =?

1/2024< ? < 1/2023 bo`lsa quyidagilardan qaysi biri eng katta?

?³ − 4? − 1 = 0 tenglama 2 ta manfiy hamda 1 ta musbat ildizga ega. Uning ildizlari ?, ?, ? bo`lsin. Agar ? = |?| + |?| + |?| bo`lsa, u holda ?³ − 16? + 3 ning qiymatini toping.

11 ta ketma-ket natural sonlarning yig’indisini hisoblaganda Anvar ehtiyotsizlik qilib ikkita ketma-ket sonni tashlab ketdi va natijani 9832 chiqardi. To’g’ri yig’indi nechaga teng?

ABC uchburchakda ∠ABC = 70°, ∠BCA = 35°. Agar BD bissiktrisa va AD = 2, DC = 3 bo`lsa, AB ∙BC ni toping.

2023 ta son ketma-ket tartib bilan yozilgan. 1-son 13 ga, 11-son 23 ga, 111-son 33 ga teng. Ixtiyoriy 3 ta ketma-ket sonning yig’indisi hisoblab ko’rilsa bir xil natija xosil bo’ladi. 2023-sonni toping.

? = 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11! soni berilgan. ? ni qanday eng kichik natural songa ko`paytirganda to`la kvadrat hosil bo`ladi.

Markazi O nuqtada bo’lgan ikkita radiuslari 1 va 3 ga teng bo’lgan ikkita aylana chizilgan. Agar chizmada tasvirlangan ikkita bo’yalgan soha yuzlari o’zaro teng bo’lsa, ∠POQ ni toping.

Rasmda berilgan radiuslari 1 bo’lgan 4 ta aylananing markazlari burchaklarning uchlaridir. Bo’yalgan soha yuzlari yig’indisini toping. (bunda π = 22/7)

Buxoro, Samarqand, Jizzax va Toshkent shahrlari shu tartibda to’g’ri yo’l bilan bog’langan. Samarqanddan Jizzaxgacha bo’lgan masofa Buxorodan Jizzaxgacha bo’lgan masofaning 1/3 qismiga va Samarqanddan Toshkentgacha bo’lgan masofaning chorak qismiga teng. Buxorodan Jizzaxgacha 120 km bo’lsa, Buxorodan Toshkentgacha bo’lgan masofani toping.

Quyidagi chizmada noma’lum shaklning yoyilmasi tasvirlangan, o’sha shaklning uchlari sonini toping.

m va n natural sonlar 3m²= 5n³ shartni qanoatlantiradi. m+n ning qabul qila oladigan eng kichik qiymatini toping.

To’rtta natural sonlarning (turli bo’lishi shart emas) teskarilari yig’indisi 7/10 ga teng. Shu sonlar yig’indisining qabul qilishi mumkin bo’lgan eng kichik qiymatini toping.

Anvar va Abdulaziz navbat bilan sumkadan konfet olishyapti. Har qadamda 1 ta, 2 ta, 3 ta yoki 4 ta konfet olish mumkin. Kim konfet ololmasa o’sha yutqazadi. Agar sumkada 2023 ta konfet bo’lsa va o’yinni Abdulaziz boshlasa to’g’ri o’yinda kim yutadi?

Nechta uch xonali sonni biror raqami boshqa ikkita raqaminig yig’indisiga teng bo’ladi.

Hayvonot bog’ida jirafa katetlari 12m va 16m bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak shakldagi qafasga qamalgan. Jirafa shu qafasning ichidagi va qafas tashqaridagi 1m gacha masofadagi o’tni yeya oladi. Jirafa jami qancha maydondagi o’tni yeya oladi.

Olimjon o’z qulfiga 10 raqamli parol qo’ydi lekin u parolini unutib qo’ydi. Lekin aniq eslaydiki, parolning 1- va 10-raqamlari yig’indisi 5 ga, 2-va 9-raqamlari yig’indi 7 ga teng. 3-va 8-raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linadi. 4-, 5-, 6- va 7- raqamlari yig’indisi 35 ga teng. Olimjon shu qulfni nechta urunishda ocha oladi?

20{?} + (1/3)[?] = 2023 tenglama nechta haqiqiy yechimga ega?

ABC uchburchakda AD balandlik va CE bissiktrisa. Agar ∠CEA = 45° bo`lsa, ∠EDB ni toping.

{a; b; c}∈{1,2,3,4,5,6,7,8} Necha xil usulda tanlab olish mumkin bunda abc + (9 − a)(9 − b)(9 − c) ifoda 6 ga bo`linadi.