Al-Xorazmiy olimpiadasi Matematika №2

ABC uchburchakda AD balandlik va CE bissiktrisa. Agar ∠CEA = 45° bo`lsa, ∠EDB ni toping.

? natural son uchun 20? − ?³/2 ko`rinishidagi natural sonlar yig`indisini toping.

Nechta uch xonali sonni biror raqami boshqa ikkita raqaminig yig’indisiga teng bo’ladi.

Kubning yoqlariga A, B, C, D, E, F harflari yozib chiqilgan. Chumoli kubning har bir yoqida bir martadan bo’lib uni yoqlari bo’ylab aylanib chiqmoqchi. Masalan ABCFED va ABCEFD. Agar Chumoli boshida A yoqda turgan bo’lsa, u kubni necha xil usulda aylanib chiqishi mumkin?

?, ? natural sonlar uchun √3(? − ?) > ?² − ?² bo`lsa, quyidagilardan nechtasi har doim to`g`ri bo`ladi?
I. ? + ? > 3
II. ?² + ?² ≥ 5
III. ? ≥ ?

Rasmda berilgan radiuslari 1 bo’lgan 4 ta aylananing markazlari burchaklarning uchlaridir. Bo’yalgan soha yuzlari yig’indisini toping. (bunda π = 22/7)

20{?} + (1/3)[?] = 2023 tenglama nechta haqiqiy yechimga ega?

m va n natural sonlar 3m²= 5n³ shartni qanoatlantiradi. m+n ning qabul qila oladigan eng kichik qiymatini toping.

? = 5! 6! 7! 8! 9! 10! 11! soni berilgan. ? ni qanday eng kichik natural songa ko`paytirganda to`la kvadrat hosil bo`ladi.

ABCD to`rtburchakda AB = AD, ∠DAC = 76°, ∠BAC = 40° va ∠BCD = 122°. ∠CBD =?

Matematika olimpiadasida 25 ta savol bor. Agar o’quvchi to’g’ri yechsa 5 bal oladi, agar noto’g’ri javob yozsa 1 bal yo’qotadi, javob yozmasa ball olmaydi. Jasur imtihonda 56 ball oldi. Eng ko’pi bilan u nechta savolga javob yozgan?

11 ta ketma-ket natural sonlarning yig’indisini hisoblaganda Anvar ehtiyotsizlik qilib ikkita ketma-ket sonni tashlab ketdi va natijani 9832 chiqardi. To’g’ri yig’indi nechaga teng?

x, y haqiqiy sonlar uchun x + y −xy = 155 va x² + y²= 325 bo`lsa, |x³ − y³| ning eng katta qiymatini toping

Anvar va Abdulaziz navbat bilan sumkadan konfet olishyapti. Har qadamda 1 ta, 2 ta, 3 ta yoki 4 ta konfet olish mumkin. Kim konfet ololmasa o’sha yutqazadi. Agar sumkada 2023 ta konfet bo’lsa va o’yinni Abdulaziz boshlasa to’g’ri o’yinda kim yutadi?

1/2024< ? < 1/2023 bo`lsa quyidagilardan qaysi biri eng katta?

Markazi O nuqtada bo’lgan ikkita radiuslari 1 va 3 ga teng bo’lgan ikkita aylana chizilgan. Agar chizmada tasvirlangan ikkita bo’yalgan soha yuzlari o’zaro teng bo’lsa, ∠POQ ni toping.

Hayvonot bog’ida jirafa katetlari 12m va 16m bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchak shakldagi qafasga qamalgan. Jirafa shu qafasning ichidagi va qafas tashqaridagi 1m gacha masofadagi o’tni yeya oladi. Jirafa jami qancha maydondagi o’tni yeya oladi.

ABC uchburchakda ∠ABC = 70°, ∠BCA = 35°. Agar BD bissiktrisa va AD = 2, DC = 3 bo`lsa, AB ∙BC ni toping.

{a; b; c}∈{1,2,3,4,5,6,7,8} Necha xil usulda tanlab olish mumkin bunda abc + (9 − a)(9 − b)(9 − c) ifoda 6 ga bo`linadi.

? ning qanday eng kichik natural qiymatida ?! soni aynan 2023 ta 0 raqami bilan tugaydi?

To’rtta do’st 1 km masofaga bir tog`ri chiziq bo`ylab ko’chat ekishmoqda. 1-bo’lib Anvar har 5 metrga ko’chat ekadi, keyin Sardor har 4 metrga ko’chat ekadi, keyin Olimjon har 3 metrga ko’chat ekadi, keyin Jahongir har 2 metrga ko’chat ekadi. Bir joyga ikki marta ko`chat ekish mumkin emas. Kim eng ko’p ko’chat ekkan?

Olimjon o’z qulfiga 10 raqamli parol qo’ydi lekin u parolini unutib qo’ydi. Lekin aniq eslaydiki, parolning 1- va 10-raqamlari yig’indisi 5 ga, 2-va 9-raqamlari yig’indi 7 ga teng. 3-va 8-raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linadi. 4-, 5-, 6- va 7- raqamlari yig’indisi 35 ga teng. Olimjon shu qulfni nechta urunishda ocha oladi?

Rasmda to’g’ri to’rtburchakning ichida to’g’ri to’rtburchakka va o’zaro urinib turuvchi 8 ta radiusi 1 ga teng aylana tasvirlangan. Aylanalardan to’rttasi to’rtburchakning ikkita tomoniga va ikkita aylanaga urinib turadi va qolgan to’rttasi esa to’rtburchakning bir tomoniga va uchta aylanaga urinib turadi. Bo`yalgan soha yuziga eng yaqin butun sonni toping.

Buxoro, Samarqand, Jizzax va Toshkent shahrlari shu tartibda to’g’ri yo’l bilan bog’langan. Samarqanddan Jizzaxgacha bo’lgan masofa Buxorodan Jizzaxgacha bo’lgan masofaning 1/3 qismiga va Samarqanddan Toshkentgacha bo’lgan masofaning chorak qismiga teng. Buxorodan Jizzaxgacha 120 km bo’lsa, Buxorodan Toshkentgacha bo’lgan masofani toping.