11-sinf Matematika olimpiada №4

1.   tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping.

2. ABCD  tetraedrning  D  uchidagi  barcha  yassi  burchaklari  to`g`ri. Shu  tetraedrda  kub  shunday  ichki  chizilganki,  kubning  bitta  uchi  D  nuqtada, unga  qarama−qarshi  uchi  esa ABC  yoqda  yotibdi. Agar  DA=5,  DB=6  va  DC=10  bo`lsa, kub  qirrasining  uzunligini  toping.

3. Poyezd  3  minutda  7  kilometrmasofani  ,  motosikl  5  minutda  7  kilometrmasofanibosibo`tdi. Mototsikltezligipoyezdtezliginingnecha  %  initashkilqiladi?

4. Hisoblang: 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 2² + 4 ∙ 2³+. … + 100 ∙ 2⁹⁹

5. Ikki xonali sonni qandaydir natural songa bo‘lganda bo‘linmada 3 va qoldiqda 8 hosil bo‘ladi. Agar bo‘linuvchining raqamlari o‘rni almashtirilsa va bo‘luvchi son o‘zgarishsiz qoldirilsa, u holda bo‘linmada 2 va qoldiqda 5 hosil bo‘ladi. Bo‘linuvchning dastlabki qiymatini toping.

6. O‘tkir burchakli uchburchakning ikki tomon uzunliklari ayirmasi 8, bu tomonlarning uchinchi tomondagi proyeksiyalari mos ravishda 8 va 20 ga teng. Berilgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping.

7. Raqamlari yig‘indisi 10 dan kam bo‘lmagan, raqamlari ko‘paytmasi esa 10 dan katta bo‘lmagan uch xonali sonlar nechta?

8. y = x² − 2x + 3 parabolaga y = 3 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini tuzing.

9. Soddalashtiring:

10. ABCD - kvadrat, AC-diagonal. Agar AE=BE+CE ( a + b = c ) bo‘lsa, ∠AEB burchakni toping(chizmaga qarang!).

11. Tenglamani yeching:

12. Soddalashtiring: bunda, |?| < 1.

13. (3 − cos²x− 2sinx)(lg²y+ 2lgy+ 4) ≤ 3 bo‘lsa, sin²x+ 20y+ 1 ni toping.

14. u_n ketma-ketlik quyidagicha berilgan: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 8n. U holda, u₅₀ −u₃₀ ni toping.

15. ? soniga teskari bo‘lgan son ? ning 9% ini tashkil qiladi. ? ni toping. (?u yerda, ? > 0)

16. Tengsizliklar sistemasinining butun yechimlari sonini toping.

17. BC = BE = CD ,∠DAE = 20°, ∠BCD = 60° ,∠ADE = ? (chizmaga qarang)

18. Doskaga ?₁, ?₂, ?₃, . . . , ?₂₀₀ sonlari yozilgan. Ma’lumki, ?₁ = 3, ?₂ = 9. Agar ixtiyoriy n natural son uchun ?_n+2 = ?_n+1 − ?_n tenglik o‘rinli bo‘lsa, ?₂₀₀ ni toping.

19. bo’lsa, P(−1) ni toping.

20. ∠CAD = 2∠ACD, AC =13a, BD = 5a va AB = CD bo’lsa, 20⋅cos ∠ACD ni toping.(chizmaga qarang!)

21. Hisoblang:

22. a²b⁵ = 6²⁰ tenglikni qanoatlantiruvchi nechta (?; ?) butun sonlar juftligi mavjud?

23. Agar    bo‘lsa sin²α ni toping.

24. ?(3) ∙ (? − 2) + ?(? − 1) = 3? bo‘lsa, ?(1) ni toping.

25. Uchlari A(2; −3), B(6; −1), C(6; 4) va D(2; 2) nuqtalarda bo‘lgan ABCD to‘rtburchak yuzini toping.

26. Soddalashtiring: 

27. Agar ifodaning qiymatini toping.

28. formula bilan berilgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining o‘rta arifmetigini toping.

29. To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir burchagi 60° ga teng. Bu burchakdan chiqarilgan bissektrisaning uzunligi 2 m. Uchburchakning gipotenuzasi uzunligini toping.

30. Muntazam uchburchak 36 ta yuzi 1 ga teng bo‘lgan kichkina muntazam uchburchaklardan iborat (chizmaga qarang!). ABC uchburchak yuzini toping.