11-sinf Matematika olimpiada №4

1. Koordinata boshidan o‘tuvchi, simmetriya o‘qi ordinata o‘qiga parallel, cho‘qqisi  y=x va y+x-2=0  to‘g‘ri chiziqlar kesishgan nuqtada bo‘lgan parabolaning tenglamasini toping.

2. Ifodani soddalashtiring:

3. Bitta  tekislikda  yotuvchi n ta  turli  tog`ri  chiziq o`tkazilgan. Ularning  ixtiyoriy  ikkitasi parallel  emas  va ixtiyoriy uchtasi bitta  nuqtadan  o`tmaydi ,ya`ni bitta  nuqtada  kesishmaydi. Bu  to`g`ri  chiziqlar  tekislikni 1276 qismga ajratadi. n  ni aniqlang?

4. Hisoblang: (1 − tg5°)(1 − tg20°)2 + 2(2tg20° + tg5°)

5. Aylananing ОА, ОВ, ОС radiuslari o‘tkazilgan. Agar bo‘lsa, АОВ burchakni toping.

6. ∠CAD = 2∠ACD, AC =13a, BD = 5a va AB = CD bo’lsa, 20⋅cos ∠ACD ni toping.(chizmaga qarang!)

7. y = x² − 2x + 3 parabolaga y = 3 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini tuzing.

8. O‘tkir burchakli uchburchakning ikki tomon uzunliklari ayirmasi 8, bu tomonlarning uchinchi tomondagi proyeksiyalari mos ravishda 8 va 20 ga teng. Berilgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusini toping.

9. Tenglamani yeching:

10. Agar    bo‘lsa sin²α ni toping.

11. Tengsizliklar sistemasinining butun yechimlari sonini toping.

12. Natural son roppa-rosa 2 ta tub bo‘luvchiga, bu sonning kvadrati esa 45 ta turli natural bo‘luvchiga ega. Berilgan sonning kubi eng ko‘pi bilan nechta natural bo‘luvchiga ega bo‘lishi mumkin?

13. Soddalashtiring: bunda, |?| < 1.

14. Nargizada 2 ta olma va 3 ta nok bor. U 5 kun ketma-ket har kuni singliga bittadan meva beradi. Bu ishni necha usul bilan amalga oshirish mumkin?

15. Raqamlari yig‘indisi 10 dan kam bo‘lmagan, raqamlari ko‘paytmasi esa 10 dan katta bo‘lmagan uch xonali sonlar nechta?

16. a²b⁵ = 6²⁰ tenglikni qanoatlantiruvchi nechta (?; ?) butun sonlar juftligi mavjud?

17. Uchlari A(2; −3), B(6; −1), C(6; 4) va D(2; 2) nuqtalarda bo‘lgan ABCD to‘rtburchak yuzini toping.

18. Soatning minut mili 144° ga burilganda, soatning soat mili qanday burchakka burilada?

19. Soddalashtiring:

20. u_n ketma-ketlik quyidagicha berilgan: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 8n. U holda, u₅₀ −u₃₀ ni toping.

21. (3 − cos²x− 2sinx)(lg²y+ 2lgy+ 4) ≤ 3 bo‘lsa, sin²x+ 20y+ 1 ni toping.

22. formula bilan berilgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining o‘rta arifmetigini toping.

23. Doskaga ?₁, ?₂, ?₃, . . . , ?₂₀₀ sonlari yozilgan. Ma’lumki, ?₁ = 3, ?₂ = 9. Agar ixtiyoriy n natural son uchun ?_n+2 = ?_n+1 − ?_n tenglik o‘rinli bo‘lsa, ?₂₀₀ ni toping.

24. Agar ifodaning qiymatini toping.

25. bo’lsa, P(−1) ni toping.

26. ? soniga teskari bo‘lgan son ? ning 9% ini tashkil qiladi. ? ni toping. (?u yerda, ? > 0)

27. BC = BE = CD ,∠DAE = 20°, ∠BCD = 60° ,∠ADE = ? (chizmaga qarang)

28. Arifmetik progressiyada ?₂ = 12, ?₇ − ?₄ = 9 bo‘lsa, ?₁₉ ni toping.

29. Soddalashtiring: 

30. Hisoblang: