11-sinf Matematika olimpiada №4

1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 sonlariga bo‘lganda mos ravishda 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 qoldiqlar hosil bo‘ladigan eng kichik natural sonni toping

2. ABCD  tetraedrning  D  uchidagi  barcha  yassi  burchaklari  to`g`ri. Shu  tetraedrda  kub  shunday  ichki  chizilganki,  kubning  bitta  uchi  D  nuqtada, unga  qarama−qarshi  uchi  esa ABC  yoqda  yotibdi. Agar  DA=5,  DB=6  va  DC=10  bo`lsa, kub  qirrasining  uzunligini  toping.

3. Tengsizlikni yeching.

4. Berilgan natural son 400 dan katta va 500 dan kichik. Uning raqamlari yig‘indisi 9 va u berilgan sonning raqamlari teskari tartibda yozilgan sonning 47/36 qismiga teng. Berilgan sonni toping.

5. Teng yonli АВС uchburchakda: АВ = ВС = 25 sm va АС = 14 sm. ВС tomonga AD balandlikning D asosida urinuvchi va АС tomon o‘rtasidan o‘tuvchi aylana radiusini toping.

6. ?(3) ∙ (? − 2) + ?(? − 1) = 3? bo‘lsa, ?(1) ni toping.

7. To‘g‘ri burchakli uchburchakning bir burchagi 60° ga teng. Bu burchakdan chiqarilgan bissektrisaning uzunligi 2 m. Uchburchakning gipotenuzasi uzunligini toping.

8. ABC uchburchakda ctgA+ctgB= 3 va AB= 12 bo‘lsa, ABC uchburchak yuzini toping.

9. ? soniga teskari bo‘lgan son ? ning 9% ini tashkil qiladi. ? ni toping. (?u yerda, ? > 0)

10. Raqamlari yig‘indisi 10 dan kam bo‘lmagan, raqamlari ko‘paytmasi esa 10 dan katta bo‘lmagan uch xonali sonlar nechta?

11. Soddalashtiring: 

12. Arifmetik progressiyada ?₂ = 12, ?₇ − ?₄ = 9 bo‘lsa, ?₁₉ ni toping.

13. Soddalashtiring:

14. Uchlari A(2; −3), B(6; −1), C(6; 4) va D(2; 2) nuqtalarda bo‘lgan ABCD to‘rtburchak yuzini toping.

15. formula bilan berilgan sonli ketma-ketlikning dastlabki 20 ta hadining o‘rta arifmetigini toping.

16. Nargizada 2 ta olma va 3 ta nok bor. U 5 kun ketma-ket har kuni singliga bittadan meva beradi. Bu ishni necha usul bilan amalga oshirish mumkin?

17. Soatning minut mili 144° ga burilganda, soatning soat mili qanday burchakka burilada?

18. y = x² − 2x + 3 parabolaga y = 3 to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘lgan parabola tenglamasini tuzing.

19. ∠CAD = 2∠ACD, AC =13a, BD = 5a va AB = CD bo’lsa, 20⋅cos ∠ACD ni toping.(chizmaga qarang!)

20. u_n ketma-ketlik quyidagicha berilgan: u₁ = 1, u_n+1 = u_n + 8n. U holda, u₅₀ −u₃₀ ni toping.

21. ABCD - kvadrat, AC-diagonal. Agar AE=BE+CE ( a + b = c ) bo‘lsa, ∠AEB burchakni toping(chizmaga qarang!).

22. Hisoblang:

23. (3 − cos²x− 2sinx)(lg²y+ 2lgy+ 4) ≤ 3 bo‘lsa, sin²x+ 20y+ 1 ni toping.

24. Soddalashtiring: bunda, |?| < 1.

25. BC = BE = CD ,∠DAE = 20°, ∠BCD = 60° ,∠ADE = ? (chizmaga qarang)

26. Muntazam uchburchak 36 ta yuzi 1 ga teng bo‘lgan kichkina muntazam uchburchaklardan iborat (chizmaga qarang!). ABC uchburchak yuzini toping.

27. Agar    bo‘lsa sin²α ni toping.

28. bo’lsa, P(−1) ni toping.

29. Tenglamani yeching:

30. Tengsizliklar sistemasinining butun yechimlari sonini toping.