10-sinf Matematika olimpiada №7

ABCD to‘rtburchakda А va С – to‘g‘ri burchaklar, АВ = ВС = 3 va BD = 5. AD va CD tomonlarda mos ravishda olingan Е va F nuqtalar uchun АЕ = 1 va СF = 2 shartlar bajariladi. Agar ABCFE beshburchak yuzi 𝑆 bo‘lsa, u holda 100 ∙ 𝑆 ni toping.

Tenglamaning ildizlari yig‘indisini toping: 100x³ − x² = 99x

D soni 𝑥²+ 𝑎𝑥 + 𝑏 keltirilgan kvadrat uchhadning diskriminanti bo’lsin (𝐷 ≠ 0). Agar uchhad ildizlaridan biri D ga, ikkinchisi 2D ga teng bo’lsa, u holda 𝑎 + 𝑏 ni toping.

Idishdagi 10%li spirt aralashmasining uchdan bir qismi quyib olindi va uning o‘rniga idishning 5/6 qismiga yetguncha suv quyildi. Idishda hosil bo‘lgan aralashmadagi spirtning foizi qancha?

𝐴𝐵𝐶 uchburchakda 𝐴𝐵 = 12, 𝐴𝐶 = 8. 𝐴𝑁 bissektrisa va 𝐵𝑀 mediana 𝑃 nuqtada kesishadi. 𝐵𝑃/𝑃𝑀 nisbatni toping.

Agar x² + x = 7 bo‘lsa, 2 + 70𝑥 − 𝑥² − 𝑥⁵ ning qiymatini toping.

Agar |𝑎 + 1| ≤ 2 va 𝑎 + 𝑏 = 4 bo‘lsa, u holda 𝑎𝑏 − 2𝑎 ifodaning eng kichik qiymatini toping.

x < |x| va xy³ < 0 bo’lsa, soddalashtiring: |x − y| − |−y| − |−x|

Soddalashtiring:

Nechta 100 dan kichik butun musbat sonlar 2 ga ham, 3 gaga ham, 5 ga ham bo‘linmaydi?

АВС uchburchakda CD to‘g‘ri burchak bissektrisasi. D nuqtadan AC tomonga DM =√3 perpendikulyar tushirilgan. Agar AD = 2√3 bo‘lsa, u holda ВС ni toping.

100! /6¹⁰⁰   kasr qisqartirilgandan keyin hosil bo‘lgan kasr maxrajini toping.

ABCD qavariq to‘rtburchakning AB va CD tomonlari o‘rtalari orasidagi masofa uning diagonallarining o‘rtalari orasidagi masofaga teng. BC va AD to‘g‘ri chiziqlar kesishishidan hosil bo‘lgan burchakni toping.

(Javobni gradusda kriting. Masalan:50)

Barcha raqamlari turlicha bo‘lib, 9 ga bo‘linadigan eng kichik besh xonali sonni toping.

Ifodaning qiymatini toping: 1! ∙ 3 − 2! ∙ 4 + 3! ∙ 5 − 4! ∙ 6 + ⋯ − 2000! ∙ 2002 + 2001! (bu yerda, 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛)

Teng yonli uchburchakning asosi va yon tomoniga tushirilgan balandliklari mos ravishda 4 va 6 ga teng. Uchburchak perimetrini toping.

Arifmetik progressiyada 𝑎₈ + 𝑎₁₇ + 𝑎₂₇ + 𝑎₃₂ =92 bo‘lsa, uning dastlabki 41 ta hadi yig‘indisini toping (𝑆₄₁).

ABCD kvadratnng AD tomonida K nuqta olindi, AB nurning davomida B dan keyin L nuqta olindi. Agar ∠LKC = 450, AK = 1, KD = 2 bo’lsa, LB ni toping.

tenglamaning ildizi … oraliqda yotadi.

Tengsizlikning butun yechimlari yig‘indisini toping:

Agar (x₁ ; y₁ ), (x₂ ; y₂ ) -sistemaning yechimlari bo‘lsa,    u holda x₁ y₁ + x₂ y₂ ni toping.

АВС uchburchakda: cos 3𝐴 − sin(𝐵 − 𝐴) = 2 va 𝐴𝐵 = 2√3 bo‘lsa, 𝐵𝐶 ni toping.

Tenglamani yeching:

Agar ixtiyoriy x uchun f (2x −1) = 1− 4x² bo‘lsa, u holda f (x) funksiyaning eng katta qiymatini toping.

Agar ni toping.

O‘tkir burchakli ABC uchburchakning AD va CE balandliklari o‘tkazildi. M va N nuqtalar mos ravishda A va C uchlardan DE to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyar asoslari. ME:DN nisbatni toping.

ABCD kvadratning tomonlari 6 ga teng. BC va CD tomonlarda P va Q nuqtalar shunday olinganki, bunda AP va AQ kesmalar kvadratni  yuzlari teng bo‘lgan uchta qismga ajratadi. APQ uchburchak yuzini toping.

202000 sonining nechta natural bo‘luvchisi mavjud?

Soddalashtiring:

Qavariq ABCD to‘rtburchakda AD = DC, ∠ADB = 40°, ∠BDC = 20° va ∠ABC = 150°. ∠BCA burchakni toping.

(Javobni gradusda kriting. Masalan:50)